Simulazioni accurate in tempi rapidi grazie alle basi ridotte

21/12/2020

Nelle giornate del 2 e 3 dicembre 2020, l’ECMI – European Consortium for Mathematics in Industry – ha organizzato un workshop, denominato “Math for Industry 4.0 – Models, Methods and Big Data”, per presentare e discutere i recenti sviluppi del digital manufacturing in ambito industriale.

Al workshop hanno partecipato data scientist, matematici e ingegneri del mondo accademico e industriale. Anche Moxoff è intervenuta presentando uno studio dal titolo “Reduced order modeling of a packaging system” effettuato in collaborazione con Nicola Parolini del laboratorio MOX.

Per saperne di più abbiamo intervistato Paolo Simioni, Senior Math Model Developer di Moxoff, che ci ha spiegato nel dettaglio lo studio effettuato.  

 

Ci può dire qualcosa di più sull’evento? 

L’ECMI è un consorzio del quale fanno parte sia istituzioni di tipo accademico, fra le quali il MOX, il laboratorio di modellistica e calcolo scientifico presso il dipartimento di matematica del Politecnico di Milano dal quale noi di Moxoff siamo nati come spin off, più altre istituzioni universitarie e aziende del settore industriale. 

Il workshop consiste in una combinazione di conferenze plenarie e di interventi scientifici.

Al centro la matematica e le sue applicazioni a problemi industriali. 

Il tipo di platea, benché variegata, era abbastanza tecnica: il pubblico era costituito sia da professori universitari sia da persone che si occupano a livello industriale di ricerca e sviluppo.

Ci può parlare nello specifico del caso di studio presentato da Moxoff?

I miei colleghi ed io ci siamo concentrati sull’industria manifatturiera e, in particolare, su un caso di studio legato a un macchinario predisposto al confezionamento di alimenti liquidi.

Come team ci siamo occupati della fase finale del processo a livello fisico-ingegneristico, ossia quando la confezione, dopo essere stata riempita di liquido, viene piegata e sigillata attraverso un sistema di ganasce che la modella lateralmente. L’estremità superiore viene chiusa e, dopo essere stata tagliata, il prodotto viene rilasciato.

Questa è una parte molto complessa, perché comprende tutta una serie di fenomeni fisici riguardanti l’interazione tra il fluido e le pareti del contenitore.

Quali erano i problemi principali da tenere in considerazione?

Ci siamo trovati di fronte a tre questioni fondamentali che abbiamo dovuto prendere in considerazione. 

Innanzitutto il complesso problema di interazione fluido-struttura che deriva dalla deformazione del tubo di cartone per effetto dell’azione combinata del liquido iniettato e del sistema di ganasce.

Poi il fatto che nel processo di riempimento lungo il tubo di cartone viaggiano forti onde di pressione prodotte  dall’effetto delle ganasce.

Infine, che per ottenere una buona qualità del prodotto finale è necessario smorzare le onde di pressione utilizzando particolari accorgimenti, come una flangia di contropressione o un dispositivo che viene periodicamente riempito d’aria e svuotato detto bucket.

Come avete pensato di ovviare a questi problemi?

Per risolvere tutti i problemi sopra citati e ottimizzare il processo di riempimento sarebbero  necessarie diverse simulazioni molto lunghe e costose.

Abbiamo quindi pensato di ricorrere ad approssimazioni che, in molti casi, sono in grado di fornire soluzioni numeriche affidabili e in tempi decisamente più brevi.

A questo scopo, nel progetto sviluppato sono state implementate diverse tecniche di riduzione del modello:

  1. riduzioni di tipo geometrico;
  2. riduzioni tramite condizioni al contorno;
  3. modelli a basi ridotte.

Ci può illustrare brevemente le tre tecniche di riduzione?

Certamente. Riduzione geometrica vuol dire semplicemente che se ho un problema tridimensionale con opportuni criteri lo posso schematizzare in zone unidimensionali oppure zerodimensionali. Significa trascurare la dipendenza delle grandezze da due o tre direzioni spaziali. 

Nel secondo caso, dato che le pareti si muovono perché sono schiacciate dalle ganasce, effettuare una simulazione tenendo conto del movimento dell’insieme nel quale io risolvo le equazioni fisiche sarebbe molto complesso. Applico quindi riduzioni tramite opportune condizioni al contorno (transpiration boundary conditions) effettuando un’approssimazione che permette di trascurare il fatto che le parenti si muovano, venendo quindi approssimate come se fossero fisse.

Infine la riduzione a basi ridotte è una tecnica matematica rigorosa che si pone il seguente obiettivo: effettuare simulazioni per un sottoinsieme finito di punti scelti opportunamente nell’insieme dei parametri creando in questo modo quella che si definisce una base ridotta, dopodiché a partire da questa costruire i risultati che avrei ottenuto attribuendo altri valori ai parametri. È una tecnica di approssimazione rigorosa, perché fornisce la proiezione della soluzione esatta sul sottospazio generato dalla base ridotta e permette quindi di quantificare l’errore che si sta commettendo. Questa tecnica consente di arrivare a risultati precisi in tempi molto rapidi: ad esempio abbiamo presentato un caso nel quale se cercassi di risolvere il problema in modo tradizionale impiegherei circa 4 ore e mezza mentre con questa tecnica posso risolverlo in 3 o 4 minuti. 

Nel progetto è stata anche sviluppata una particolare versione della tecnica a basi ridotte fondata su metodi d’interpolazione (nota come Non-intrusive Reduced Order Model) applicabile nei casi in cui per svariati motivi non sia possibile la determinazione esatta delle componenti della suddetta proiezione.

Quindi come ha applicato la riduzione a basi ridotte?

Le applicazioni avvengono in una fase progettuale della macchina. Innanzitutto stabilisco quali sono le grandezze fisiche che sono interessato a far variare ed in tal modo identifico l’insieme dei parametri, quindi per esplorarlo applico le basi ridotte e ottengo in breve tempo dei risultati attendibili. 

Un’altra applicazione interessante consiste nel verificare come l’incertezza sui dati d’ingresso si riflette in quelli d’uscita. Per fare questo dovrei fare molte simulazioni, voglio risparmiare tempo e uso le basi ridotte che mi permettono di ricavare con rapidità indicazioni alquanto accurate. Poi, chiaramente, una volta individuata la direzione nella quale procedere, se necessario posso effettuare simulazioni mirate coinvolgenti i parametri che hanno maggiore effetto.

Nella pratica, i suoi calcoli come si integrano con la filling machine?

Il macchinario, che già esiste, è passibile di emendamenti, modifiche, miglioramenti. La macchina ha alcune grandezze che possono essere regolate, quindi grazie ai calcoli effettuati con le basi ridotte posso stabilire il grado di modifica in un’ottica di ottimizzazione del processo di impacchettamento.

Ad esempio, posso decidere il flusso della pompa che inietta il liquido, quanto ne debba essere immesso per unità temporale. Grazie alle simulazioni effettuate con il metodo di riduzione a basi ridotte posso stabilire il dimensionamento migliore di questo dispositivo e intervenire direttamente sul macchinario regolandone alcuni parametri.